На главную Учителям Школьникам Абитуриентам Студентам Родителям Форум Добавить материал Заказать работу Поиск документов
Реклама
Реклама
 Еще статьи из раздела "Уроки по алгебре"
 Функции и графики. Беседа.
 Натуральные числа и делимость. Беседа.
 Точки и прямые, числа и плоскость. Беседа.
посмотреть все статьи раздела

 Автор документа:

Диалог Гуманитария и Математика.

Г: ? Ведь совсем простая вещь: точки, прямые, плоскости! Через две точки проходит прямая, через три ? плоскость. Две прямые пересекаются в одной точке, или вовсе не пересекаются ? когда они параллельны. Каждый отрезок прямой имеет положительную длину и состоит из множества точек... Все просто! Зачем городить темный лес из аксиом и постулатов, в котором сам черт ногу сломит? Но наш любезный Математик, конечно, найдет причины для скучной возни! Ведь правда, сударь?

М: ? Конечно, правда! Только зря вы ругаетесь: сами только что наговорили уйму неосторожных слов и едва не заврались!

Г: ? Это где же?

М: ? Да в самом начале! Через любые две разные точки проходит прямая, притом единственная: это факт привычный и недоказуемый, так что он принят за одну из аксиом геометрии Евклида. И не только Евклида: эта аксиома есть во всех возможных геометриях. А вот насчет плоскости, проходящей через три точки ? это не совсем так! Во-первых, ГДЕ лежат эти три точки? Если на прямой, то ни о какой плоскости говорить нельзя: ее СУЩЕСТВОВАНИЕ ни из чего не следует! Его надо постулировать, как дополнительную аксиому.

Если же вы работаете в пространстве (вы ведь это имели в виду?), то через три разные точки проходит либо ОДНА плоскость (если НЕ ВСЕ они лежат на одной прямой), либо МНОГО разных плоскостей. Сколько именно? На этот вопрос тоже невозможно ответить, не вводя дополнительных аксиом. И кстати ? выбрать из этого множества плоскостей одну, самую естественную ? эта операция тоже невыполнима без дополнительных аксиом! Вот через какие пропасти и ловушки вы изволите скакать с беззаботностью козленка! Или котенка, если он вам милей...

Г: ? А вы утверждаете, что геометрия ? нечто вроде минного поля? И ваш Евклид был первым минером?

М: ? Да, так и есть! И во всей науке так: чуть начнешь рассуждать привычным путем о вещах непривычных, как сразу допустишь либо ошибку, либо бессмыслицу. Без четких определений и аксиом надежной науки нет ? ни геометрии, ни физики, ни биологии!

Г: ? Ну, уж это вы загнули! Математика ? вещь умозрительная, а Природа ? она не выдаст!

М: ? Ой, неправда! Выдает, как миленькая! Вот, зоологи веками рассуждали о млекопитающих животных, не давая им определения. И все молча подразумевали: раз млекопитающее ? значит, живородящее! А потом Природа подбросила людям утконоса...

Г: ? Да, это был прокол... Но ведь в физике так не бывает!

М: ? Еще как бывает! И не только среди элементарных частиц, где на каждом углу ? либо "утконос", либо "динозавр". Вспомните споры, которые шли в 17-18 веках вокруг понятия "сила"! Спорили, не вводя строгих определений. А когда ввели ? сразу выяснилось, что сила, импульс, энергия, работа, мощность, действие ? это совсем разные вещи. Для одних есть закон сохранения ? для других нет. Одни измеряются числами ? другие векторами. И так далее... Нет уж: не жалейте трудов и времени на выяснение смысла определений и аксиом! Не поняв ? таких ошибок нагородите, что небу жарко станет. Евклид и Гильберт не зря потрудились над основами геометрии!

Г: ? Ладно, убедили! Но неужели нельзя понять геометрию плоскости, не выучив 10 или 20 зубодробительных аксиом?

М: ? Ну, зачем же столько! Для начала хватит пяти.

Г: ? Это как в арифметике?

М: ? Да, похоже. Там тоже нужны пять аксиом для описания натуральных чисел и действий над ними. Но вспомните: из этих аксиом не следовало ни существование отрицательных чисел, ни правило "Минус, умноженный на Минус, дает Плюс". Хочешь, чтобы уравнение (х+а = в) имело решение при любых (а) и (в) ? вводи дополнительные определения и аксиомы! Так и в геометрии будет. Но для начала хватит пяти аксиом.

Г: ? Ну, давайте их формулировки!

М: ? Извольте! Итак, у нас будут три неопределяемых понятия: точка, прямая, плоскость. И пять аксиом:

А1. На прямой лежат не менее 2 разных точек.

А2. Через любые 2 разные точки проходит единственная прямая.

А3. На плоскости вне данной прямой (а) лежит хотя бы одна точка (Х).

А4. Через точку (Х) на плоскости, лежащую вне данной прямой (а), проходит хотя бы одна прямая (в), не пересекающая (а).

А5. Прямая (в), упомянутая в Аксиоме 5 ? единственная.

Г: ? Лихо! Ведь ваша аксиома А5 ? это знаменитый "пятый постулат" Евклида о параллельных прямых!

М: ? Совершенно верно!

Г: ? А почему вы не дали определение: что такое параллельные прямые?

М: ? Потому, что это не нужно! Две прямые в плоскости НАЗЫВАЮТСЯ параллельными, если они не пересекаются. Существование таких прямых нам гарантируют аксиомы А4 и А5.

Г: ? Пожалуй, так. Но если вам хватило пяти аксиом на всю планиметрию ? может, вы и стереометрию так же просто опишете? Или слабо?

М: ? Нет, не слабо. Обратите внимание: первые ДВЕ аксиомы А1 и А2 описывают свойства ПРЯМОЙ и точек на ней. Добавив к ним еще ТРИ аксиомы, мы получили описание ПЛОСКОСТИ с точками и прямыми на ней. Теперь добавим еще ЧЕТЫРЕ аксиомы ? чтобы получилось описание ПРОСТРАНСТВА. Вот они:

А6. Через любую прямую и любую точку вне ее в пространстве проходит единственная плоскость.

А7. В пространстве вне данной плоскости (М) лежит хотя бы одна точка.

А8. Через точку пространства, лежащую вне данной плоскости (М), проходит хотя бы одна плоскость (К), не пересекающая (М).

А9. Плоскость (К), упомянутая в Аксиоме 8 ? единственная.

Г: ? Да, здесь заметна система. Например, аксиомы А1, А3 и А7 ? они явно говорят об одном и том же, хотя на разных уровнях. То же самое ? с аксиомами А2 и А6, или А4 и А8. Итак, пять аксиом задают нам плоскость, девять аксиом ? пространство. Наверное, можно и дальше шагнуть?

М: ? Конечно, можно! Однако многомерные пространства ? вещь, привычная только профессионалам. А мы с вами далеко не исчерпали всех богатств обычной плоскости.

Г: ? Верно! Например, вы ни слова не сказали о РАССТОЯНИИ между точками, об УГЛАХ между прямыми. Как определить эти вещи?

М: ? Сделать это либо очень просто, либо вовсе невозможно. Все зависит от ответа на простейший вопрос: сколько точек лежат на прямой?

Г: ? А и правда! Из Аксиомы 1 видно только, что их не меньше двух. А может быть ровно две?

М: ? Да, может! Примите это утверждение, как аксиому ? и у вас получится полная модель геометрии. Сообразите-ка: сколько при этом будет точек на плоскости? И сколько на ней будет разных прямых?

Г: ? Ой-ей-ей!.. Ну, две-то параллельные прямые всегда есть. А третьей, пожалуй, нет: иначе на любой прямой, пересекающей три параллельные прямые, нашлось бы 3 разных точки...

М: ? Верно! Продолжайте рассуждать в том же духе!

Г: ? Легко сказать! Итак, две параллельные прямые покрывают всю плоскость! И на каждой ? по две точки... Всего 4 разных точки на плоскости?

М: ? Так и есть! А сколько прямых проходят через эти точки?

Г: ? Ясно, что не больше 6: по одной на каждую пару точек! И, пожалуй, не меньше: ведь через любую пару точек можно провести прямую...

М: ? Именно так! 4 точки и 6 прямых между ними. Не видали ли вы такую фигуру где-нибудь раньше?

Г: ? Похоже на тетраэдр...

М: ? Он самый! Кстати, он подсказывает нам, каковы РАССТОЯНИЯ между точками и прямыми. Можно считать каждое ненулевое расстояние равным 1. Это корректно ? то есть, согласуется с неравенством треугольника. Но в такой ситуации невозможно определить ОТРЕЗОК прямой, и не имеет смысла выражение "одна точка лежит МЕЖДУ двумя другими".

Г: ? Ну конечно! Если на всей прямой ? только две разные точки! Но зачем нужны такая нелепая прямая и плоскость?

М: ? Затем, что они допускаются нашими аксиомами! Приняв тезис, что на каждой прямой лежат ровно 2 точки, мы нечаянно построили евклидову плоскость ? только над полем вычетов F(2), в котором 1+1 = 0. Если эта картина нас не устраивает ? можно заполнить прямую иным числовым полем. Но это должно быть именно ПОЛЕ ? множество чисел, замкнутое относительно всех арифметических действий. Число разных элементов в поле может быть КОНЕЧНЫМ: тогда оно равно (р..), где (р) ? простое число. Если же мы готовы иметь дело с БЕСКОНЕЧНЫМ множеством разных чисел, то проще всего взять поле РАЦИОНАЛЬНЫХ чисел (Q).

Г: ? Значит, с самого начала в аксиоматике Евклида была дыра: он не уточнил, из КАКИХ (или из СКОЛЬКИХ) точек состоит прямая в его геометрии!

М: ? Ну конечно! Но не стоит обижаться на Евклида: он не знал, что такое "числовая прямая" или что такое "поле". Для построения геометрии (или другой науки) нужны ОПРЕДЕЛЕНИЯ, АКСИОМЫ и ПРАВИЛА ВЫВОДА новых утверждений из уже известных. Эти правила сформулировал Аристотель ? незадолго до Евклида. Сам Евклид удачно справился с выбором АКСИОМ своей науки. Но набрать необходимое множество ОПРЕДЕЛЕНИЙ он не сумел. Эту работу продолжил Архимед ? но довел до конца только Кантор, в конце 19 века. После этого Гильберту осталось все соединить, подогнать и отшлифовать ? что он и сделал к 1900 году.

Г: ? Значит, фундамент геометрии состоит из аксиом Евклида ? и еще из аксиом числового поля, заполняющего прямую. Верно я вас понял?

М: ? Верно!

Г: ? Так давайте перечислим все необходимые аксиомы числового поля! Не будем тратить время на арифметические действия: о них мы достаточно беседовали, знакомясь с натуральными числами. И оставим в стороне ваши дикообразные конечные поля; хватит с нас привычных рациональных чисел!

М: ? Тут вы опять ошиблись: рациональных чисел нам не хватит! Это заметил еще Пифагор ? к своему великому неудовольствию!

Г: ? Ах, вот вы о чем... Не может быть полноценной геометрия без равнобедренного прямоугольного треугольника. Но в таком треугольнике длина гипотенузы не соизмерима с длиною катета. Оттого нужны еще иррациональные числа!

М: ? Совершенно верно! Поэтому мы займемся теми аксиомами, которые включают иррациональные числа в зоопарк рациональных чисел. Их нам понадобятся всего ДВЕ.

Г: ? Это скромно! Вместе с пятью аксиомами о точках и прямых ? для описания плоскости довольно семи аксиом... Это можно пережить! Итак, давайте ваши аксиомы!

М: ? Не мои, конечно. Первую из них придумал Архимед, а вторую ? Кантор. Вот их формулировки:

АЧ1. Если (ав).

АЧ2. Если ? последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к 0, то существует единственное число (х), общее для всех этих отрезков.

Г: Лихо! Первая аксиома кажется лишней ? зато вторая включает столько новых понятий, что в глазах рябит! Вы можете коротко объяснить: какая последовательность ? вложенная, и во что она вложена? И какие длины стремятся к 0?

М: Конечно, могу! Последовательность фигур называется ВЛОЖЕННОЙ, если в ней каждая последующая фигура лежит внутри предыдущей. Последовательность чисел стремится к 0, если для любого положительного числа (е>0) найдется такой номер (к), что х(n)к). Впрочем, в длины вложенных отрезков образуют МОНОТОННУЮ последовательность. Поэтому нам достаточно более простого условия: х(к)

Г: ? Да, тяжела ты, Риманова плоскость! И не легче от того, что на ней можно ввести аналитическую геометрию...

загрузка...
Реклама

Все материалы сайта Rambler's Top100

Авторство размещенных материалов администрацией не проверяется.
В случае, если вы являетесь автором какого-либо размещенного материала и вас не устраивают условия размещения,
то обратитесь пожалуйста к авторам проекта для исправления.

При копировании любых материалов с данного сайта, ссылка на сайт - обязательна. | Статьи партнёров

Обратная связь

Ваш IP:
54.159.66.70 (54.159.66.70, 54.159.66.70)